存活分析的理論深度涵蓋計數過程理論、競爭風險和動態預測。
計數過程與 Martingale 理論
Andersen & Gill（1982）以計數過程 N(t) 和強度函數 λ(t) 重新建構存活分析。Martingale 殘差 Mᵢ(t) = Nᵢ(t) − ∫₀ᵗ Yᵢ(s)λᵢ(s)ds 是 Nelson-Aalen 估計量和 Cox partial likelihood score 的理論基礎。漸近結果（一致性、漸近常態）由 martingale CLT（Rebolledo theorem）保證。
競爭風險（Competing Risks）
當有多種事件類型（如死於癌症 vs 死於心臟病）時，Kaplan-Meier 的 1−S(t) 高估每種事件的累積發生率。正確方法：
- 累積發生率函數（Cumulative Incidence Function, CIF）：I_k(t) = ∫₀ᵗ h_k(s)S(s)ds，其中 S(s) 是所有原因的存活函數。
- Fine & Gray（1999）子分布風險模型：直接回歸 CIF，subdistribution HR 的解讀接近 cause-specific HR 但保留競爭事件的影響。
- Cause-specific Cox model 分析每種原因的風險因子。
時間依賴共變數與聯合模型（Joint Models）
當共變數隨時間改變（如反覆測量的生物標記），需使用 extended Cox model with time-varying covariates 或 joint model for longitudinal and survival data（Rizopoulos, 2012）。Joint model 同時建模縱向測量 yᵢ(t) = Xᵢ(t)β + Zᵢ(t)bᵢ + ε 和存活 hᵢ(t) = h₀(t)exp(γWᵢ + α·mᵢ(t))，以 EM 或 MCMC 估計。
動態預測（Dynamic Prediction）
給定病人到目前為止的資訊，預測未來的條件存活機率 P(T > t+Δt | T > t, history)。Landmark analysis 是簡化方法（在固定時間點做條件分析）。Joint model 提供更精確的動態預測。C-index（Harrell's concordance）和 Brier score 評估預測表現。
免疫治療時代的挑戰
免疫檢查點抑制劑常展現延遲分離的存活曲線（delayed separation）——前幾個月兩組存活相似，之後治療組明顯優於控制組。RMST（Restricted Mean Survival Time, Royston & Parmar, 2013）差值和加權 log-rank（Flemming-Harrington）是應對非比例風險的替代終點。
文獻參考：Cox, D.R. (1972). JRSS B, 34, 187-220. / Fine, J.P. & Gray, R.J. (1999). JASA, 94, 496-509. / Rizopoulos, D. (2012). Joint Models for Longitudinal and Time-to-Event Data. Chapman & Hall.