敏感度分析是 ODE-based 建模的必備環節，從局部微分方法到全域方差分解方法構成完整的不確定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）框架。
Forward Sensitivity vs Adjoint Sensitivity
Forward sensitivity 對每個參數 θ_j 積分 variational equation（N_x × N_θ 個額外 ODE）。成本 ∝ N_θ。
Adjoint sensitivity 從終端時間反向積分 adjoint equation：
dλ/dt = −(∂f/∂x)^T · λ − (∂g/∂x)^T
其中 g(x) 為 cost function 的 running cost。gradient ∂J/∂θ = ∫(∂f/∂θ)^T · λ dt。成本 ∝ N_t（觀測時間點數），不依賴 N_θ。
當 N_θ >> N_t（參數多但觀測少）時 adjoint 更高效；反之 forward 更好。AMICI / CVODES 提供兩種方法的高效實作。
MCA 的嚴格數學推導
穩態通量 J(e) 在酵素向量 e 處的 Taylor 展開：
dJ/J = Σ C_J^ei · de_i/e_i + O(δ²)
FCC 定義為 C_J^ei = (e_i/J) · (∂J/∂e_i)。
Summation theorem 的推導基於穩態條件 S·v(c,e) = 0 和齊次函數性質（v 對 e 是一次齊次的）。
Connectivity theorem：Σ C_J^ej · ε_S^ej = 0（對每個代謝物 S 的彈性係數 ε 求和為零），連結全域控制與局部動力學。
Top-down 方法（Brand & Curtis, 1990）將代謝網路分為大型模組，直接測量模組層級的控制係數，避免知道所有酵素動力學的需求。
Sobol' 方差分解的理論基礎
假設 Y = f(θ₁,...,θ_d) 且 θ_i 獨立，ANOVA-HDMR 分解：
f = f₀ + Σf_i(θ_i) + Σf_ij(θ_i,θ_j) + ... + f_{1..d}(θ₁,...,θ_d)
各項正交。方差分解 Var(Y) = ΣV_i + ΣV_ij + ...。
第一階 Sobol' index S_i = V_i/Var(Y)：θ_i 的 main effect。
全階 S_Ti = 1 − Var(E[Y|θ_(-i)])/Var(Y)：包含所有含 θ_i 的交互。
高效計算：Saltelli (2002) 的矩陣 A-B-AB scheme 只需 N·(d+2) 次模型評估（N=1000-10000, d=參數數）。
Polynomial Chaos Expansion (PCE)
用正交多項式基底近似 model response：Y ≈ Σ cₐ · Ψₐ(θ)。係數 cₐ 可通過 non-intrusive spectral projection 或 regression 估計。一旦 PCE 建立，Sobol' indices 可直接從係數計算（無需額外模型評估）。
不確定性傳播與 Prediction Uncertainty
參數後驗分布 P(θ|D) + model 結構 → 預測不確定性帶（prediction band）。Bayesian prediction interval 比 profile likelihood-based 更全面（考慮非線性效應和參數間相關性）。
軟體：SALib（Python，Sobol/Morris）、AMICI + pyPESTO（ODE sensitivity）、UQLab（MATLAB，PCE + Sobol）。
文獻：Saltelli et al. (2008) Global Sensitivity Analysis: The Primer / Zi et al. (2008) IET Syst Biol 2:342-351 / Kacser & Burns (1973) Symp Soc Exp Biol 27:65-104 (MCA 奠基論文).